Цели изрази, действия с многочлени

Фирма предлага асфалтиране на улици, пътища, тротоари, паркинги, дворове, алеи, детски площадки.Детска площадка има форма на квадрат със страна $x$ m , a долепеното до нея игрище е с форма на правоъгълник с размери $x$ m и $y$ m. Колко лева ще струва асфалтирането на детската площадка и на игрището, ако цената е 15 лв. за квадратен метър?

При такива и други житейски ситуации съставяме израз - многочлен, който може да се използва многократно.

Сега ще изучим многочлените.

Израз, който е сбор от едночлени се нарича многочлен (полином).

Например: $-5x^3\ -\ 2x^2\ +\ x\ -\ 9$ или $x^4\ +2x^2\ -3x^4-6\$

Когато многочленът е записан като сбор от неподобни едночлени в нормален вид, се казва, че многочленът е в нормален вид. Преобразуване на многочлен до нормален вид, се нарича привеждане в нормален вид.

Примери за многочлени в нормален вид:

$3,1\ y^{4\ }\ +x$ - двучлен

$-5x^3\ -\ 2x^2\ +\ x\ -\ 9$ - тричлен

$\frac{1}{2}x^5y^3+0,1x^4y^4+\ 4x^3y^2-6$ - четиричлен

Зад. Приведете многочлена в нормален вид.

Решение:

Разкриваме скобите и извършваме приведение.

$3x^3\ +\left(4x\ -\ 3x^3\right)\ =$ $3x^{3\ }+4x\ -3x^3\ =$ $4x$

Степен на многочлен се нарича най-високата от степените на едночлените, от които е съставен този многочлен.

Пример: В многочлена $13\ x^2y^2z\ +\ y^4z^5\ -\ 2,8$ участват едночлените:

$13x^2y^2z$ - от 5 степен; $y^4z^5$ - от 9 степен и $-2,8$ - от нулева степен.

Следователно този многочлен е от 9 степен.

Коефициентите на едночлените, участващи в нормалния вид на многочлена, се наричат коефициенти на многочлена.

Коефициента на едночлена от най-висока степен се нарича старши коефициент.

Коефициента на едночлена с нулева степен се нарича свободен член.

Пример: В многочлена $13\ x^2y^2z\ +\ y^4z^5\ -\ 2,8$ $=\ y^4z^5+13x^2y^2z\ -\ 2,8$ коефициентите са: 13, 1 и -2,8; старшият коефициент е 1 , а свободният член е $-2,8$ .

Посочете старшия коефициент на многочлена

Посочете свободния член на многочлена

Многочлени се събират, изваждат, като се разкрият скобите и ако е необходимо, се извършва приведение.

Пример: $A\ =\ 2x^4+4x-2$ и $B\ =\ 5x^{4\ }-3x\ +\ 2$

$A\ +\ B\ =\$ $\left(2x^4+4x-2\right)\ +\ \left(5x^4-3x+2\right)\ =$

= $2x^{4\ }+4x-2\ +5x^4-3x+2\ =$ $7x^4\ +x$

$A\ -B\ =$ $\left(2x^4+4x-2\right)\ -\left(5x^4-3x+2\right)\ =$

$=\ 2x^4+4x-2-5x^4+3x-2=$ $-3x^4+7x-4$

Сборът на многочлените М и N, представен в нормален вид е:

Многочлен се умножава с едночлен като всеки член на многочлена се умножи с едночлена и получените произведения се съберат.

Примери:

$\left(2x\ +\ 5\right)\ .\ 6\ =\ 6\ .\ \left(2x\ +\ 5\right)\ =\ 12x\ +\ 30$

$-1.\left(4x\ -7\right)=\ -4x+7$

$0.\left(x^2\ -3x+8\right)\ =\ 0$

Извършете умножението и посочете правилния отговор.

Многочлен се умножава с многочлен като всеки член на единия многочлен се умножи с всеки член на другия многочлен и получените събираеми се съберат.

Пример:

$\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x\ +1\right)=$ $2x\ .\ 4x^2\ +2x.\ \left(-2x\right)\ +\ 2x\ .\ 1\ +1.\ 4x^2\ +1.\left(-2x\right)+1.1=$

$=8x^{3\ }\ -4x^2\ +2x\ +4x^2\ -2x\ +\ 1=$ $8x^3\ +1$